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1. Qual o montante acumulado em 6 trimestres a uma taxa de 2% a.m. no regime de juros compostos, a partir de um principal igual a $120.000?
Basta aplicar a fórmula de juros compostos:
S = P * (1 + i)^n ,
onde S é o montante, P é o principal, i é a taxa de juros por período, n é o número de períodos.
S = 120.000 (1 + 0.02)^18
S = 171.389,55 $
Note que, no REGIME DE JUROS COMPOSTOS, 2% ao mês é diferente de 6% ao trimestre!!!!
Isso é verdade no regime de juros SIMPLES, pois a taxa de acumulação de capital (1 + i*n) é linear, e não exponencial como no caso dos juros COMPOSTOS (1 + i)^n . O regime de juros compostos é, muitas vezes, conhecido como "juro sobre juro" (porque, neste regime, os juros são devidos ao valor ATUAL do montante, já incluídos os juros anteriores). Ou seja, o valor dos juros vão aumentando com o passar do tempo (acumulação exponencial de capital), diferentemente do regime de juros simples, onde os juros são iguais durante todo o período, e são devidos somente ao valor aplicado (principal), o que explica sua fórmula: Juro total (simples) = P * i * n . Ou seja, cada período de investimento vale P * i dinheiros (acumulação linear de capital), num total de P * i * n dinheiros durante n períodos de investimento.
2. Qual o principal que deve ser investido nesta data para se ter um montante de $50.000 daqui a dois anos, a uma taxa de 15% a.s., no regime de juros compostos?
S = P * (1 + i)^n
Então,
P = S / (1 + i)^n
P = 50.000 / (1 + 0,15)^4
P = 28.587,66 $
3. Uma pessoa investiu $10.000 nesta data, para receber $14.257,60 daqui a um ano. Qual a taxa de rentabilidade mensal do seu investimento, no regime de juros compostos?
S = P * (1 + i)^n
14.257,60 = 10.000 * (1 + i)^12
1,42576 = (1 + i)^12
Aqui eleva-se ambos os lados por 1/12 :
(1,42576)^(1/12) = 1 + i
(onde o lado esquerdo da equação é a mesma coisa que a raiz de índice 12 de 1,42576).
i = 0,03 ou 3% a.m.
4. Um banco realiza as suas operações de desconto de duplicata com uma taxa de desconto mensal a 2% a.m., juros simples, e exige um saldo médio de 30% do valor da operação. Esse banco foi procurado por uma empresa para descontar $50.000 de duplicatas, todas com vencimento daqui a 3 meses. Determinar o valor líquido à disposição dessa empresa, na data da operação e a taxa de rentabilidade mensal do banco, no regime de juros compostos.
O desconto dado pelo banco será
d = N * id * n
d = 50.000 * 0,02 * 3
d = 3.000 $
Então, o valor atual das duplicatas é
V = N - d
V = 50.000 - 3.000 = 47.000 $
O banco ainda exige que a empresa "deixe" no banco 30% do valor da operação, (este valor será reembolsado para a empresa no final do prazo):
Saldo = 0,30 * N = 0,30 * 50.000 = 15.000 $.
Portanto, apesar de receber $47.000, a empresa deixará no banco $15.000, recebendo um valor líquido de $32.000, o que responde à primeira questão. Acharemos agora a rentabilidade mensal do banco. Para tanto, deveremos olhar o problema sob o ponto de vista do banco:
Na data 0 : saem $47.000 (dado à empresa), ficam $15.000 . Resultado: saem $32.000.
No 3o. mês: entram $50.000 (banco recebe pagto dos clientes da empresa), saem $15.000. Resultado: entram $35.000.
Podemos encarar esta operação como um investimento por parte do banco: ele investe $32.000 e recupera $35.000.
Pergunta: qual foi a sua rentabilidade (do banco)? É só aplicar a fórmula.
S = P * (1 + i)^n
35.000 = 32.000 * (1 + i)^3
i = 3 % ao mês.
5. Uma pessoa deseja fazer uma aplicação financeira, a juros compostos de 2% ao mês, de forma que possa retirar $10.000 ao final do sexto mês e $15.000 no final do décimo mês. Qual o menor valor da aplicação que permite a retirada desses valores nos meses indicados?
Podemos considerar que, após a primeira retirada de $10.000 no sexto mês, deverá sobrar um resíduo, uma quantia, que então renderá $15.000 durante os 4 meses restantes. Ou seja, devemos satisfazer a duas equações:
10.000 + r = P * (1 + 0,02)^6
(uma quantia investida P deverá render 10.000 mais um resíduo r)
e
15.000 = r * (1 + 0,02)^4
(o resíduo r renderá 15.000 durante 4 meses de aplicação)
Calculando r e depois P, acha-se P = 21.184,94 $
6. Determinar o valor atual do fluxo de caixa a seguir, para uma taxa de juros de 3% ao mês, em regime composto.
| Mês | Fluxo de Caixa |
| 0 | 10.000 |
| 1 | -2.000 |
| 2 | +1.000 |
| 3 | -5.000 |
| 4 | -6.000 |
| 5 | -8.000 |
| 6 | +2.000 |
RESOLUÇÃO CORRETA:
1) Calcula-se o valor atual de cada movimentação do caixa e soma-se tudo. Ou seja, calcula-se quanto vale 10.000$ no mês 0, quanto vale -2.000$ no mês 0, quanto vale 1.000$ no mês 0, and so on...e soma-se tudo.
S = P * (1 + i)^n
Como queremos calcular os valores referentes ao mês 0, devemos considerar os fluxos de caixa dos meses seguintes como MONTANTES, e assim queremos calcular o PRINCIPAL (aplicação no mês 0).
P = S * (1 + i)^-n
P0 = 10.000 * (1,03)^0 = 10.000,00
P1 = -2.000 * (1,03)^-1 = -1.941,75
P2 = 1.000 * (1,03)^-2 = 942,60
P3 = -5.000 * (1,03)^-3 = -4.575,71
P4 = -6.000 * (1,03)^-4 = -5.330,92
P5 = -8.000 * (1,03)^-5 = -6900,87
P6 = 2.000 * (1,03)^-6 = 1.674,97
Valor atual = -6.131,69 $
7. Um banco deseja realizar um empréstimo para uma empresa, que deverá liquidá-lo no final do 9o. mês pelo valor de $1.304,77. Determinar o valor que deve ser abatido no ato da contratação, uma vez que a empresa deseja limitar esse pagamento final em $1.200,00, sabendo-se que o banco opera no regime de juros compostos, à taxa de 3% ao mês.
Se a empresa deseja pagar somente 1.200,00 $ daqui a nove meses, ela receberá emprestado somente 919,70 $. Veja:
S = P * (1 + i)^n
1.200 = P * (1,03)^9
P = 919,70 $
Mas se a empresa, a principio, se dispusesse a pagar 1.304,77 $ , ela conseguiria um empréstimo de 1.000$:
S = P * (1 + i)^n
1.304,77 = P * (1,03)^9
P = 1.000,00 $
Logo, se ela deseja reduzir o valor do pagto do empréstimo, será abatido do seu disponível 80,30 $.
1.000,00 - 919,70 = 80,30 $
